Платонична природа на математическите идеи?

Колко „реални“ са обектите от света на математиката? Според една гледна точка те нямат нищо общо с реалността. Математическите обекти са просто идеи. Те са умозрителни идеализации на математици, най-често мотивирани от видимия ред на някои аспекти от заобикалящия ни свят, но независимо от това те остават умозрителни идеализации. Могат ли математическите обекти да бъдат нещо друго освен произволни построения на човешкия разум? В същото време често се оказва, че тези математически идеи са свързани с необяснима реалност, която значително надхвърля границите на умозрителните анализи на който и да е отделен математик. Излиза, че човешката мисъл се насочва към някаква вечна външна истина – истина, която притежава собствена реалност и пред нас се разкриват само части от нея.

Множеството на Манделброт (изобразено на фигурата) ни предлага поразителен пример. Неговата великолепна и сложна структура не е открита нито от един човек, нито е резултат от разработката на математически екип. Самият Беноа Манделброт 2, американски математик от полски произход (и протагонист на теорията на фракталите), който пръв изследва множеството, не е имал предварителна представа за фантастичната му сложност въпреки усещането си, че е попаднал на много интересно нещо. Наистина след появата на първите компютърни изображения той е мислел, че размитите структури, които вижда, са резултат от грешка в компютъра 3! Едва по-късно се убедил, че те действително са налице в множеството. Нещо повече, пълните подробности на сложната структура на множеството на Манделброт не могат да бъдат разбрани от нас изцяло, нито могат да бъдат установени с помощта на какъвто и да е компютър.

Моножеството на Маднелброт се определя като всички стойности на комплексния параметър $c$ в комплексната равнина, за които рекурсивната последователност от комплексни числа $z$_n+1 = z_n² + c, започвойки от $z$₀ = 0, е ограничена, т.е. членовете ѝ не излизат от кръг с краен радиус.

Изглежда, че тази структура не е само част от нашето съзнание, а притежава собствена реалност. Ако произволен математик или компютърен запалянко реши да изследва множеството, той ще получи апроксимации на същата фундаментална математическа структура. Няма реално значение, какъв компютър ще бъде използван за извършване на пресмятанията (ако компютърът работи съобразно предписанията). Тук се абстрахираме от бързодействието, обема на паметта и графичните възможности. Те биха могли да причинят разлики по отношение на фините детайли, които могат да се покажат, и бързината, с която те могат да се получат. По същество компютърът се използва по същия начин, както физикът експериментатор работи със своята апаратура, изследвайки структурата на физическия свят. Множеството на Манделброт не е изобретение на човешкия разум. Това е откритие. Както връх Еверест, множеството на Манделброт е просто там!

Също така самата система на комплексните числа е сложна и независеща от времето реалност, която чувствително надхвърля границите на умозрителните прозренията на който и да е математик. Началните усещания за съществуването на комплексни числа срещаме още в трудовете на Джероламо Кардано – италианец, живял от 1501 до 1576 г., лекар по професия, комарджия и съставител на хороскопи (веднъж е съставил хороскоп на Христос). През 1545 г. написал важния трактат по алгебра Ars Magna, където за първи път (чрез радикали) е дадено решението на уравнение от трета степен в общ вид. (Това решение се основава частично на по-ранни трудове на Шипионе дел Феро и на Тарталия.) Кардано забелязал, че за определен клас от случаи – наричани „неприводими“, при които има три реални корена, на даден етап от работата е принуден да търси квадратни корени от отрицателни числа. Въпреки че това му изглеждало странно, той установил, че ако (и само ако) допусне съществуването на такива корени, ще може да намери пълния отговор на задачата (окончателният резултат е реален). По-късно, през 1572 г., Рафаел Бомбели в труд, озаглавен L'Algebra, обобщава работата на Кардано и започва истинското изследване на алгебрата на комплексните числа.

На пръв поглед изглежда, че въвеждането на квадратни корени от отрицателни числа е просто едно средство – математическо изобретение, предназначено да постигне определена цел. По-късно става ясно, че тези обекти могат да бъдат много по-полезни, отколкото се е предполагало първоначално. Както вече споменах, въпреки че първоначалната цел при въвеждането на комплексните числа е била да се намират лесно квадратни корени, оказва се, че с тяхна помощ като допълнителна печалба получаваме възможността да намираме всякакви корени или да решаваме каквито и да е алгебрични уравнения. По-късно бяха открити много други магически свойства на комплексните числа, за които не сме имали никаква предварителна представа. Тези свойства просто ги има. Те не са „сервирани“ от Кардано, Бомбели, Уолис, Коутс, Ойлер, Весел или Гаус независимо от несъмнената прозорливост на тези и други велики математици – магията е присъща на самата структура, която те постепенно разкриват. Когато Кардано въвел своите комплексни числа, той не е могъл да има представа за многото магически свойства, които ще станат известни след това – свойства, известни с различни имена, като интегрална формула на Коши, теорема на Риман за изображенията или свойството „разширение на Леви“. Тези и много други забележителни факти без никакви допълнителни изменения са свойства на същите числа, на които Кардано се натъкнал случайно за пръв път през 1539 г.

Изобретяваме ли в математиката или откриваме? Дали когато математиците получат своите резултати, те просто произвеждат сложни умозрителни конструкции, които не са реалност, но чиято мощ и елегантност са достатъчни, за да подведат самите изобретатели и да ги накарат да мислят, че умозрителните построения са „реални“? Или математиците разкриват истини, които просто са „налице“ – истини, чието съществуване е съвсем независимо от дейността им? Мисля, че за читателя вече трябва да е ясно, че аз съм привърженик по-скоро на втория възглед, отколкото на първия. Поне що се отнася до структури като комплексните числа и множеството на Манделброт.

Все пак работата може би не е така ясна и проста. Както вече казах, в математиката има неща, за които понятието „откритие“ е много по-подходящо от „изобретение“ – такива бяха цитираните примери. В тези случаи структурата дава много повече, отколкото първоначално се очаква. Човек би могъл да си помисли, че математиците са попаднали на „Божи работи“. Има обаче други случаи, при които математическата структура не притежава такава завладяваща единственост. Например когато по средата на доказателството на определен резултат математикът трябва да въведе някакво изкуствено и съвсем не единствено построение, за да стигне до съвсем конкретен резултат. Тук от построението не може да се очаква нещо повече от вложеното в него и думата „изобретение“ изглежда по-подходяща от „откритие“. Това са наистина „хорски работи“. Така в общ план на истинските математически открития трябва да се гледа като на по-големи постижения или въжделения, отколкото на обикновените изобретения.

Такива категоризации не се различават много от подобните им в областта на изкуствата или техниката. Великите произведения на изкуството са наистина по-близо да Бога, отколкото по-незначителните. На художниците не е чуждо чувството, че в най-големите си произведения разкриват вечни истини, които притежават някаква форма на първично нематериално съществуване 4, докато по-маловажните им творби могат да бъдат по-произволни и от естеството на преходни построения. Аналогично една техническа новост, която реализира великолепна икономия и при която се постига много от приложението на проста и неочаквана идея, е по-правилно да се характеризира като откритие, а не като изобретение.

След тези бележки все пак чувствам, че вярата в нематериално и вечно съществуване, когато става въпрос за математика, и то за дълбоки математически идеи, е доста по-убедителна, отколкото в останалите случаи. За такива математически идеи са характерни приковаващи вниманието единственост и универсалност, които се различават по порядък от очакванията ни в областта на изкуствата или техниката. Схващането, че математическите идеи биха могли да съществуват извън времето, във вечността, е предложено в древността (IV век пр. Хр.) от великия гръцки философ Платон. Често това схващане се нарича математически платонизъм.

• 1. Пенроуз, Р., Новият разум на царя: За компютрите, разума и законите на физиката, Унив. изд. „Св. Климент Охридски“, 1998.
• 2. Виж Манделброт, Б., Фракталните обекти: Форма, случайност и размерност, Унив. изд. „Св. Климент Охридски“, 1996.
• 3. Mandelbrot, B. B., Fractals and the rebith of iterational theory. In The beauty of fractals: images of complex dynamical systems, H. O. Peitgen and P. H. Richter, Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. 151–160.
• 4. Както казва известният аржентински писател Хорхе Луис Борхес: „…прочутият поет е по-малко изобретател, отколкото откривател.“ – б. а.